Linearna diferencijalna jednačina 
Vrsta: Seminarski | Broj strana: 20 | Nivo: Ekonomski fakultet

UVOD: Osnovni pojmovi i definicije
Jednačinu oblika
EMBED Equation.3 , (1)
gdje je EMBED Equation.3 tražena funkcija, nazivamo diferencijalnom jednačinom n-tog reda. Svaku funkciju EMBED Equation.3 koja jednačinu (1) prevodi u identitet, nazivamo rješenjem te jednačine, a graf te funkcije integralnom krivuljom. Ako je rješenje zadano implicitno EMBED Equation.3 tada ga obično nazivamo integralom.
Primjer 1. Provjerimo da li je funkcija EMBED Equation.3 rešenje jednačine
EMBED Equation.3
Rješenje. Imamo
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
i prema tome je
EMBED Equation.3 .
Integral
EMBED Equation.3 (2)
diferencijalne jednačine (1) koji ima n nezavisnih po volji odaberivih konstanti EMBED Equation.3 i ekvivalentan je (u zadanom području) jednačini (1), nazivamo općim integralom te jednačine (u pripadnom području). Dajući relaciji (2) konstantama EMBED Equation.3 određene vrijednosti, dobivamo partikularni integral jednačine (1).
Obrnuto, kada imamo porodicu krivulja (2) i eliminiramo parametre EMBED Equation.3 iz sistema jednačini
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,..., EMBED Equation.3 ,
dobivamo općenito diferencijalnu jednačinu oblika (1) kojoj je opći integral u pripadnom području relacija (2).
Primjer 2. Nađimo diferencijalnu jednačinu porodice parabola
EMBED Equation.3 . (3)
Rješenje. Derivirajmo dva puta jednačinu (3), pa ćemo imati
EMBED Equation.3 i EMBED Equation.3 . (4)
Iz jednačini (3) i (4) eliminiramo parametre EMBED Equation.3 i EMBED Equation.3 , pa dobijamo traženu diferencijalnu jednačinu
EMBED Equation.3 .
Lako možemo provjeriti da funkcija (3) prevodi tu jednačinu u identitet.
Početni uvjeti
Ako su za traženo partikularno rješenje EMBED Equation.3 diferencijalne jednačine
EMBED Equation.3 (5)
zadani početni uvjeti (Košijev problem)
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,..., EMBED Equation.3
i poznato je opće rješenje jednačine (5)
EMBED Equation.3 ,
onda se po volji odaberive konstante EMBED Equation.3 određuju, ako je to moguće, iz sistema jednačina
EMBED Equation.3
Primjer 3. Nađimo krivulju porodice
EMBED Equation.3 , (6)
za koju je EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Rješenje. Imamo:
EMBED Equation.3 . (7)
odakle je
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
i prema tome,
EMBED Equation.3 .
Diferencijalne jednačine prvog reda
2.1. Oblici diferencijalnih jednačina prvog reda
Diferencijalna jednačina prvog reda sa nepoznatom funkcijom EMBED Equation.3 , riješena po derivaciji EMBED Equation.3 , ima oblik
EMBED Equation.3 , (8)
gdje je EMBED Equation.3 zadana funkcija. U nekim slučajevima povoljno je traženom funkijom smatrati varijablu EMBED Equation.3 i jednačinu (8) napisati u obliku

---------- CEO RAD MOŽETE PREUZETI NA SAJTU. ---------- 

www.maturski.org 

 

MOŽETE NAS KONTAKTIRATI NA E-MAIL: [email protected]